一、最小生成树基础概念 #

1.1 图论基础 #

1.1.1 图的定义与分类 #

1.1.2 连通图与连通分量 #

1.1.3 树的基本性质 #

1.1.4 生成树的定义 #

1.2 最小生成树定义 #

1.2.1 最小生成树的概念 #

1.2.2 最小生成树的性质 #

1.2.3 最小生成树的存在条件 #

1.2.4 最小生成树的应用场景 #

二、最小生成树算法 #

2.1 Prim算法 #

2.1.1 算法思想与原理 #

2.1.2 算法步骤详解 #

2.1.3 时间复杂度分析 #

2.1.4 空间复杂度分析 #

2.1.5 算法实现方式 #

2.1.6 算法优化策略 #

2.2 Kruskal算法 #

2.2.1 算法思想与原理 #

2.2.2 算法步骤详解 #

2.2.3 时间复杂度分析 #

2.2.4 空间复杂度分析 #

2.2.5 算法实现方式 #

2.2.6 算法优化策略 #

2.3 其他算法 #

2.3.1 Borůvka算法 #

2.3.2 Reverse-Delete算法 #

2.3.3 并行算法 #

三、算法比较与选择 #

3.1 算法性能对比 #

3.1.1 时间复杂度对比 #

3.1.2 空间复杂度对比 #

3.1.3 适用场景对比 #

3.2 算法选择策略 #

3.2.1 基于图规模的算法选择 #

3.2.2 基于图密度的算法选择 #

3.2.3 基于应用需求的算法选择 #

四、数据结构支持 #

4.1 图的数据结构 #

4.1.1 邻接矩阵 #

4.1.2 邻接表 #

4.1.3 边集数组 #

4.2 优先队列 #

4.2.1 二叉堆 #

4.2.2 斐波那契堆 #

4.2.3 二项堆 #

4.3 并查集 #

4.3.1 并查集基本操作 #

4.3.2 路径压缩优化 #

4.3.3 按秩合并优化 #

五、算法实现细节 #

5.1 Prim算法实现 #

5.1.1 邻接矩阵实现 #

5.1.2 邻接表实现 #

5.1.3 使用优先队列的实现 #

5.2 Kruskal算法实现 #

5.2.1 边排序实现 #

5.2.2 并查集实现 #

5.2.3 优化实现技巧 #

六、应用实例分析 #

6.1 网络设计 #

6.1.1 通信网络设计 #

6.1.2 电力网络设计 #

6.1.3 交通网络设计 #

6.2 聚类分析 #

6.2.1 层次聚类 #

6.2.2 图像分割 #

6.2.3 数据挖掘 #

6.3 其他应用 #

6.3.1 近似算法设计 #

6.3.2 图像处理 #

6.3.3 生物信息学 #

七、扩展与变种 #

7.1 带约束的最小生成树 #

7.1.1 度约束最小生成树 #

7.1.2 容量约束最小生成树 #

7.1.3 多目标最小生成树 #

7.2 动态最小生成树 #

7.2.1 边权值变化 #

7.2.2 边添加与删除 #

7.2.3 在线算法 #

7.3 分布式最小生成树 #

7.3.1 分布式算法设计 #

7.3.2 通信复杂度分析 #

7.3.3 同步与异步实现 #

八、复杂度理论与证明 #

8.1 算法正确性证明 #

8.1.1 Prim算法正确性证明 #

8.1.2 Kruskal算法正确性证明 #

8.1.3 贪心选择性质 #

8.2 下界分析 #

8.2.1 比较模型下界 #

8.2.2 线性决策树下界 #

8.2.3 随机算法下界 #

8.3 近似算法分析 #

8.3.1 近似比分析 #

8.3.2 最坏情况分析 #

8.3.3 平均情况分析 #

九、编程实践与优化 #

9.1 代码实现技巧 #

9.1.1 内存优化 #

9.1.2 时间优化 #

9.1.3 代码可读性 #

9.2 测试与调试 #

9.2.1 测试用例设计 #

9.2.2 边界条件处理 #

9.2.3 性能测试方法 #

9.3 实际工程应用 #

9.3.1 大规模图处理 #

9.3.2 实时系统应用 #

9.3.3 分布式系统实现 #