一、基础状态表示方法 #

1. 一维状态表示 #

• 线性序列状态表示
• 单变量状态表示
• 位置索引状态表示
• 前缀/后缀状态表示

2. 二维状态表示 #

• 矩阵网格状态表示
• 双序列状态表示
• 区间状态表示
• 坐标平面状态表示

3. 多维状态表示 #

• 三维及以上的状态表示
• 高维数组状态表示
• 多维索引状态表示
• 状态空间压缩技术

二、状态表示的核心要素 #

1. 状态定义原则 #

• 无后效性原则
• 最优子结构原则
• 状态完备性原则
• 状态最小化原则

2. 状态转移方程 #

• 状态转移关系建立
• 边界条件确定
• 递推关系推导
• 状态转移优化

3. 状态初始化 #

• 初始状态设置
• 边界状态处理
• 特殊状态初始化
• 状态预处理技术

三、常见问题的状态表示模式 #

1. 线性DP状态表示 #

• 最长递增子序列状态表示
• 最大子数组和状态表示
• 背包问题状态表示
• 编辑距离状态表示

2. 区间DP状态表示 #

• 矩阵链乘法状态表示
• 石子合并状态表示
• 括号匹配状态表示
• 最优二叉搜索树状态表示

3. 树形DP状态表示 #

• 树上最大独立集状态表示
• 树的重心状态表示
• 树的直径状态表示
• 树形背包状态表示

4. 状态压缩DP #

• 集合状态表示
• 位运算状态压缩
• 轮廓线状态表示
• 插头DP状态表示

四、状态表示的优化技巧 #

1. 状态空间优化 #

• 滚动数组技术
• 状态合并技巧
• 维度降低方法
• 状态复用策略

2. 状态表示转换 #

• 状态等价转换
• 状态重定义技巧
• 状态映射方法
• 状态归一化处理

3. 记忆化搜索中的状态表示 #

• 递归状态表示
• 缓存键设计
• 状态哈希方法
• 记忆化与递推的转换

五、高级状态表示技术 #

1. 概率DP状态表示 #

• 期望值状态表示
• 概率分布状态表示
• 随机过程状态表示
• 马尔可夫决策过程

2. 数位DP状态表示 #

• 数字限制状态表示
• 数位统计状态表示
• 数字性质状态表示
• 前导零处理状态

3. 计数DP状态表示 #

• 组合计数状态表示
• 排列计数状态表示
• 容斥原理应用
• 生成函数状态表示

六、实际应用中的状态表示 #

1. 字符串处理DP #

• 字符串匹配状态表示
• 回文串状态表示
• 子序列状态表示
• 字符串编辑状态表示

2. 图论DP状态表示 #

• 最短路径状态表示
• 拓扑排序状态表示
• 欧拉路径状态表示
• 哈密顿路径状态表示

3. 几何DP状态表示 #

• 凸包状态表示
• 多边形划分状态表示
• 点集覆盖状态表示
• 几何优化状态表示

七、状态表示的设计方法论 #

1. 问题分析阶段 #

• 状态识别方法
• 状态维度确定
• 状态含义定义
• 状态关系分析

2. 状态设计阶段 #

• 状态变量选择
• 状态空间评估
• 状态转移分析
• 状态优化考虑

3. 实现验证阶段 #

• 状态正确性验证
• 状态效率测试
• 状态调试技巧
• 状态重构方法