一、动态规划基础概念 #
1.1 动态规划定义与特点 #
- 最优子结构性质
- 重叠子问题性质
- 状态转移方程
- 边界条件确定
1.2 迭代与递归实现对比 #
- 时间复杂度分析
- 空间复杂度比较
- 实现难度评估
- 适用场景分析
二、迭代实现核心要素 #
2.1 状态定义与设计 #
- 状态变量选择原则
- 状态空间维度确定
- 状态表示方法
- 状态初始化策略
2.2 状态转移方程构建 #
- 递推关系推导
- 转移条件分析
- 最优决策选择
- 方程验证方法
2.3 迭代顺序确定 #
- 自底向上实现原理
- 循环嵌套顺序选择
- 依赖关系分析
- 计算顺序优化
三、经典问题迭代实现 #
3.1 背包问题 #
3.1.1 0-1背包问题 #
- 状态定义：dp[i][j]
- 状态转移方程
- 空间优化技巧
- 代码实现示例
3.1.2 完全背包问题 #
- 状态定义差异
- 转移方程变化
- 优化实现方法
- 应用场景分析
3.2 最长公共子序列 #
- 状态定义：dp[i][j]
- 转移方程推导
- 边界条件处理
- 结果重构方法
3.3 最短路径问题 #
3.3.1 Floyd算法 #
- 状态定义原理
- 三重循环实现
- 路径重建技术
- 时间复杂度分析
3.3.2 Bellman-Ford算法 #
- 松弛操作原理
- 迭代次数确定
- 负环检测方法
- 实现优化技巧
3.4 编辑距离问题 #
- 状态空间设计
- 操作代价定义
- 转移方程建立
- 实际应用案例
四、迭代实现优化技术 #
4.1 空间复杂度优化 #
- 滚动数组技术
- 状态压缩方法
- 内存访问优化
- 缓存友好设计
4.2 时间复杂度优化 #
- 循环顺序调整
- 提前终止策略
- 剪枝技巧应用
- 并行计算可能
4.3 数据结构优化 #
- 哈希表应用
- 优先队列使用
- 树状数组结合
- 线段树辅助
五、高级迭代技巧 #
5.1 状态机动态规划 #
- 状态机模型建立
- 状态转移设计
- 多状态管理
- 复杂条件处理
5.2 数位动态规划 #
- 数位状态定义
- 记忆化搜索转迭代
- 边界条件处理
- 数位统计应用
5.3 概率动态规划 #
- 期望值计算
- 概率转移方程
- 迭代收敛分析
- 实际应用场景
六、实践应用与调试 #
6.1 代码实现规范 #
- 变量命名约定
- 代码结构组织
- 注释编写标准
- 测试用例设计
6.2 调试技巧 #
- 状态表打印分析
- 中间结果验证
- 边界情况测试
- 性能瓶颈定位
6.3 常见错误分析 #
- 状态定义错误
- 转移方程错误
- 边界条件遗漏
- 迭代顺序错误
七、扩展与进阶 #
7.1 多维动态规划 #
- 高维状态处理
- 内存优化策略
- 计算复杂度控制
- 实际应用案例
7.2 动态规划与其他算法结合 #
- 与贪心算法结合
- 与分治算法融合
- 与图论算法集成
- 与机器学习结合
7.3 前沿研究方向 #
- 近似动态规划
- 随机动态规划
- 大规模动态规划
- 在线动态规划