一、动态规划基础概念 #
1.1 动态规划定义与特征 #
- 动态规划的基本思想
- 最优子结构性质
- 重叠子问题特性
- 无后效性原则
1.2 动态规划适用场景 #
- 最优化问题分类
- 多阶段决策过程
- 状态转移方程的构建
- 记忆化搜索与递推实现
1.3 动态规划与其他算法比较 #
- 动态规划与分治算法
- 动态规划与贪心算法
- 动态规划与回溯算法
- 动态规划与分支限界法
二、动态规划核心要素 #
2.1 状态定义与设计 #
- 状态空间的设计原则
- 状态变量的选择方法
- 状态维度的确定
- 状态压缩技巧
2.2 状态转移方程 #
- 状态转移方程的推导
- 递推关系的建立
- 边界条件的确定
- 状态转移的优化
2.3 初始条件与边界处理 #
- 初始状态的设置
- 边界情况的处理
- 无效状态的排除
- 终止条件的判断
三、动态规划经典模型 #
3.1 线性动态规划 #
- 最长递增子序列
- 最大子数组和
- 编辑距离问题
- 背包问题系列
3.2 区间动态规划 #
- 矩阵链乘法
- 石子合并问题
- 最优二叉搜索树
- 括号匹配问题
3.3 树形动态规划 #
- 树的最大独立集
- 树的最小支配集
- 树的重心与直径
- 树上背包问题
3.4 状态压缩动态规划 #
- 旅行商问题
- 棋盘覆盖问题
- 集合划分问题
- 位运算优化技巧
四、动态规划优化技术 #
4.1 空间优化方法 #
- 滚动数组技术
- 降维优化策略
- 状态复用技巧
- 内存优化方案
4.2 时间优化策略 #
- 单调队列优化
- 斜率优化技巧
- 四边形不等式
- 决策单调性优化
4.3 数据结构优化 #
- 线段树优化
- 树状数组应用
- 堆结构的使用
- 平衡树的应用
五、动态规划应用领域 #
5.1 组合优化问题 #
- 资源分配问题
- 调度优化问题
- 路径规划问题
- 网络流问题
5.2 序列处理问题 #
- 字符串匹配与处理
- 序列比对问题
- 模式识别应用
- 生物信息学应用
5.3 图论相关问题 #
- 最短路径问题
- 最大流最小割
- 图着色问题
- 网络优化问题
5.4 实际工程应用 #
- 机器学习中的DP应用
- 自然语言处理应用
- 计算机视觉应用
- 游戏AI设计应用
六、动态规划实现技巧 #
6.1 自顶向下实现 #
- 记忆化搜索方法
- 递归实现技巧
- 缓存机制设计
- 递归深度控制
6.2 自底向上实现 #
- 迭代实现方法
- 循环顺序设计
- 状态更新策略
- 效率对比分析
6.3 代码实现规范 #
- 状态表示方法
- 转移方程编码
- 边界处理实现
- 调试与测试技巧
七、动态规划进阶专题 #
7.1 概率动态规划 #
- 期望值计算
- 概率状态转移
- 随机过程建模
- 风险决策分析
7.2 计数动态规划 #
- 组合计数问题
- 排列计数问题
- 生成函数应用
- 容斥原理结合
7.3 数位动态规划 #
- 数字统计问题
- 数位限制处理
- 状态设计技巧
- 常见问题模式
7.4 动态规划与数学 #
- 生成函数应用
- 矩阵快速幂优化
- 组合数学联系
- 数论问题应用
八、动态规划学习路径 #
8.1 入门训练题目 #
- 基础递推问题
- 简单状态设计
- 经典模型练习
- 思维模式培养
8.2 进阶训练方法 #
- 题目分类训练
- 解题思路总结
- 代码模板积累
- 竞赛题目分析
8.3 实战应用指导 #
- 实际问题建模
- 算法选择策略
- 性能调优方法
- 错误排查技巧