一、动态规划基本概念
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1.1 动态规划定义与特点
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- 动态规划的基本思想
- 最优子结构性质
- 重叠子问题性质
- 无后效性原理
1.2 适用问题类型
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1.3 与其他算法的比较
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- 动态规划与分治法的区别
- 动态规划与贪心算法的区别
- 动态规划与回溯法的关系
二、动态规划求解步骤详解
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2.1 问题分析与状态定义
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- 识别最优子结构
- 确定状态变量
- 状态空间的设计原则
- 状态表示的技巧
2.2 状态转移方程建立
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- 递推关系的推导
- 边界条件的确定
- 状态转移方程的数学表达
- 常见状态转移模式
2.3 初始条件设置
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- 基础情况的确定
- 初始值的赋值
- 边界处理的方法
- 特殊情况考虑
2.4 计算顺序确定
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- 自底向上方法
- 自顶向下方法
- 记忆化搜索技术
- 计算顺序优化策略
2.5 最优解构造
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- 最优值的提取
- 最优解的追踪
- 路径重建方法
- 解空间的分析
三、动态规划实现技术
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3.1 存储结构设计
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- 一维数组的应用
- 二维数组的使用
- 多维状态的存储
- 空间优化技巧
3.2 时间复杂度分析
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- 状态数量的计算
- 转移代价的评估
- 复杂度优化方法
- 实际性能考虑
3.3 空间复杂度优化
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- 滚动数组技术
- 状态压缩方法
- 内存使用优化
- 空间-时间权衡
四、经典动态规划问题
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4.1 线性动态规划
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- 最长递增子序列
- 最大子数组和
- 编辑距离问题
- 背包问题系列
4.2 区间动态规划
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- 矩阵链乘法
- 石子合并问题
- 最优二叉搜索树
- 括号匹配问题
4.3 树形动态规划
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- 二叉树上的动态规划
- 树的最大独立集
- 树的重心问题
- 树上背包问题
4.4 状态压缩动态规划
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- 旅行商问题
- 棋盘覆盖问题
- 集合划分问题
- 位运算技巧应用
五、动态规划进阶技巧
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5.1 优化技术
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- 单调队列优化
- 斜率优化
- 四边形不等式优化
- 决策单调性优化
5.2 特殊形式
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- 概率动态规划
- 期望动态规划
- 计数动态规划
- 多进程动态规划
5.3 实际问题建模
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- 问题转化技巧
- 状态设计创新
- 约束条件处理
- 多目标优化
六、动态规划应用领域
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6.1 计算机科学应用
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- 算法设计与分析
- 编译原理中的应用
- 人工智能规划
- 生物信息学算法
6.2 工程领域应用
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- 资源分配问题
- 生产调度优化
- 路径规划算法
- 网络流优化
6.3 经济学与运筹学
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- 投资决策模型
- 库存管理优化
- 金融风险管理
- 博弈论中的应用